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原码,补码,反码概念和计算方法详解

创建时间:2020-01-16 10:34:36.0 来源:黑马程序员

今天由黑马程序员老师给大家讲解计算机的原码,反码和补码。并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码,以及更进一步的论证了为何可以用反码,补码的加法计算原码的减法。 

一、机器数和真值

在学习原码,反码和补码之前,需要先了解机器数和真值的概念。

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

机器数的第一位是符号位,后边才是真正的数值,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

二、原码,反码,补码的基础概念和计算方法

在探求为何机器要使用补码之前,让我们先了解原码,反码和补码的概念。对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码,反码,补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

1579142033257_原码反码补码.jpg


1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如如果是8位二进制:

[+1](原码) = 0000 0001

[-1](原码) = 1000 0001

第一位是符号位。因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

2. 反码

反码的表示方法是: 正数的反码是其本身,负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。

[+1] = [00000001](原码)= [00000001](反码)

[-1] = [10000001](原码)= [11111110](反码)

可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

3. 补码

补码的表示方法是:正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1 (即在反码的基础上+1)。

[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)

[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。


三、为何要使用原码,反码和补码

在开始深入学习前,我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码,反码和补码的表示方式以及计算方法。

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)

可见原码, 反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式。为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减 (真值的概念在本文最开头)。但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单。计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索,将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题,出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

于是补码的出现,解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[1000 0000]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示 (对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原,这是不正确的)。

使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127, +127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。推荐了解C++培训课程

因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的32位int类型,可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

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